シュリーヴ１章解答

練習問題1.1

確率空間( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})において、A, B \in \mathcal{F} \ を\ A \subset Bとする。このとき、\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)となる。また、\mathcal{F} \ の集合列\ A_n \in \mathcal{F} \ が、任意のnについてA \subset A_n \ であるとする。このとき、\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(A_n) = 0 \ であるならば、\mathbb{P}(A) = 0 \ である。

\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}((A \backslash B) \cup B)= \mathbb{P}(A \backslash B) + \mathbb{P}(B) \leq \mathbb{P}(B)より前半が示せた。

前半の事実から、\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(A_n)であり、{n \rightarrow \infty}で右辺は0に収束することから示せた。\Box

練習問題1.2

無限回のコイン投げ空間\ ( \Omega_\infty, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \ を考える。A := \{ \omega = \omega_1 \omega_2 \dots \in \Omega_\infty \ \mid \omega_{2i-1} = \omega_{2i} \}とする。すなわち、各偶数回目の結果がその直前の結果と一致しているもの全体からなる集合である。また、表が出る確率をp \in (0, 1)とする。このとき、
(1) Aが非加算無限集合であることを示せ。
(2) \mathbb{P}(A) = 0を示せ。

(1)
対角線論法で示す。Aが可算集合であるとすると、
\omega^{(1)} = \omega^{(1)}_1 \omega^{(1)}_2 \cdots
\omega^{(2)} = \omega^{(2)}_1 \omega^{(2)}_2 \cdots
\vdots
とAの要素を全て並べることができる。ここで、\omega = \omega_1 \omega_2 \cdots を次の通り構成する。すなわち、\omega_1 = \omega_2 を \omega^{(1)}_1 = \omega^{(1)}_2 でない方を、\omega_3 = \omega_4 を \omega^{(2)}_3 = \omega^{(2)}_4 でない方を、\cdots、\omega_{2i-1} = \omega_{2i} を \omega^{(i)}_{2i-1} = \omega^{(i)}_{2i} でない方を、\cdotsとする。こうして構成した \omega はAの元ではあるが、上記全ての \omega^{(n)} と異なる。したがって非可算集合である。

(2)
A_n = \{ \omega = \omega_1 \omega_2 \cdots \mid i \leq n \ において \ \omega_{2i-1} = \omega_{2i} \}とする。このとき A \subset A_n である。また、\mathbb{P}(A_n) = {1/2}^n であるから n \rightarrow \infty で \mathbb{P}(A_n) \rightarrow 0 となる。したがって、練習問題1.1から\mathbb{P}(A)=0 がわかる。\Box